Los papiros que documentan las matemáticas egipcias están datados hace unos 3500/4000 años y resumen conocimientos que se originaron anteriormente.
Los egipcios conocían que cualquier número positivo se puede escribir como una suma de potencias de dos, p. ej:
35 = 1 + 2 + 32 = 2^0 + 2^1 + 2^5, porque usaban la tabla
2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, etc.
Esta propiedad numérica era utilizada para multiplicar como puede verse en el problema 32 del papiro del Rhind, que plantea hallar el producto 12 x 12, el procedimiento es el que sigue:
1 12
2 24
*4 48
*8 96
12 144
En la primera columna se comienza por la unidad y se va multiplicando por dos en cada fila, en la segunda columna se comienza por uno de los factores y también se va multiplicando cada fila por dos, de modo que cada fila duplica la anterior.
Los números que suman el otro factor (también doce en este caso) se marcan con una señal (en el ejemplo con un asterisco).
Finalmente se suman tanto estos números como los de la segunda de las filas correspondientes. Esta última suma es el resultado: 144.
Otro ejemplo, multiplicar 22 x 17:
* 1 22
2 44
4 88
8 176
*16 352
17 374 resultado final.
Un método análogo era utilizado para la división, considerando además de las duplicaciones, las mitades, como en el problema 24 del papiro Rhind (dividir 19 por 8):
1 8 Divisor
*2 16
1/2 4
*1/4 2
*1/8 1
Resultado 2+1/4+1/8 19 Dividendo
Ahora lo escribimos 19:8=2,375 (=2+1/4+1/8)
Para la división entre fracciones emplearon la llamada tabla de 2/n, que da todos los cocientes de 2 dividido por todos los impares hasta 101 inclusive:
2/3= 1/2+1/6 2/9= 1/6+1/18 2/15= 1/10+1/30
2/5= 1/3+1/15 2/11=1/6+1/66 2/17=1/12+1/51+1/68
2/7= 1/4+1/28 2/13=1/8+1/52+1/104 2/19=1/12+1/76+1/114
_________________________________________________________
2/101=1/101+1/202+1/303+1/606.
2/101=1/101+1/202+1/303+1/606.
Tabla 2.1
Ejemplo, dividir 18+1/4+1/28 por 1+1/7:
1 1+1/7
2 2+1/4+1/28 porque 2/7=1/4+1/28 según la tabla
4 4+1/2+1/14
8 9+1/7
*16 18+1/4+1/28 aplicando de nuevo la tabla
Luego el cociente es 16
Problemas aritméticos
El problema 24 del papiro Rhind tiene un enunciado más general que el dado más arriba:
A una cantidad se le suma 1/7 de ella y el resultado es 19. Hallar dicha cantidad.
Se asume que la cantidad es 7, entonces,
* 1 7
* 1/7 1
8
Para que en lugar de 8 dé 19, hay que multiplicar por 19/8= 2+1/4+1/8 según el ejemplo dado más arriba:
*1 2+1/4+1/8
*2 4+1/2+1/4
*4 9+1/2
16+1/2+1/8
O sea que 7 x (2+1/4+1/8) = 16+1/2+1/8, que es la solución buscada: si a esta cantidad le sumamos 1/7 de sí misma nos da 19,
16+1/2+1/8
2+1/4+1/8
19
Este método que consiste en ensayar una solución, en este ejemplo 7, y luego aproximar hasta encontrar la verdadera solución ahora se llama método de regula falsi, y se enseña en cursos de secundaria.
Además de resolver este tipo de problemas los egipcios establecieron algunas reglas o procedimientos, para encontrar las fracciones con numerador 1, en que se descomponen las fracciones con numerador 2, para construir la tabla 2.1 y seleccionar los valores elegidos, porque por lo general no hay soluciones únicas, p. ej. también es 2/3=1/4+1/ 5+1/6+1/20. Este tipo de formas de encarar los problemas trasciende lo aritmético y abre un camino con posibilidades de llegar al algebra.
Nótese que con estos métodos para calcular, con base decimal, no resulta implicado el cero ni la posición de las cifras, en otras palabras para los egipcios el cero no existió.
Extraído del libro La ciencia y sus alrededores de Fermín Jorge Alfonso
No hay comentarios:
Publicar un comentario