Matemáticas y realidad. Terreno peligroso

La relación de las matemáticas con la realidad ha sido materia de arduas polémicas. Concretamente la discusión se centra en la aplicabilidad de las matemáticas a la naturaleza o a la sociedad.

Existe cantidad de aplicaciones de la matemática no sólo por solicitaciones externas sino también las que resultan de desarrollos a veces muy anteriores a los que se halla luego aplicación.

Resulta que es imposible atribuir a simples coincidencias esta gran cantidad de aplicaciones. Cuánto más aplicaciones se fueron hallando, más improbable se fue haciendo la idea de que fueran coincidencias, por lo que se hace necesaria una explicación racional para este hecho.

Por otra parte en casos dudosos los matemáticos se apegan a las soluciones realistas. Un ejemplo lo constituye dentro del cálculo de probabilidades qué es lo que ocurre al arrojar una vez un par de dados iguales que no se pueden distinguir uno de otro dándose las siguientes alternativas:

¿Dados indistinguibles?

Se trata de contar de cuántas formas puede ocurrir cada suma de puntos: p. ej. se pueden obtener cuatro puntos de dos maneras, que en ambos dados salgan dos puntos, o que en uno salga uno y en el otro tres:

Suma de puntos Formas en que sale Probabilidad
     2                 (1,1)                1/21 uno en cada dado
     3                 (1,2)                1/21 uno en un dado y dos en el otro 
     4            (1,3) - (2,2)           2/21
     5            (1,4) - (2,3)           2/21
     6       (1,5) - (2,4) - (3,3)     3/21
     7       (1,6) - (2,5) - (3,4)     3/21
     8       (2,6) - (3,5) - (4,4)     3/21
     9            (3,6) - (4,5)           2/21
    10           (4,6) - (5,5)           2/21
    11                (5,6)                1/21
    12                (6,6)                1/21

Las probabilidades se obtienen considerando que hay 21 casos (21 pares) que son equiprobables (los dados se consideran equilibrados)
Si ahora consideramos a los dados distinguibles, p.ej. uno de ellos está pintado de azul, el número de casos crece a 36 porque (1,2) da lugar a las salidas (1 azul, 2 blanco) y a (1 blanco, 2 azul), y así siguiendo, y en la tabla anterior cada forma de salida con números distintos da lugar a dos como en el caso (1,2), pasando la probabilidad de sacar 3 puntos de 1/21 a 2/36 para comprobar lo cual basta con contar los casos. Del mismo modo cambia el resto de las probabilidades.

Ahora bien, si se contrasta con un número grande de tiradas de dos dados comunes sin pintar ocurre que la distribución de los resultados se ajusta como si estuvieran pintados con distintos colores y a ningún matemático serio se le ocurre alejarse del criterio de realismo implícito al elegir como cierto el hecho que en todos los casos los dados se comportan como distinguibles aunque no estén pintados.

Ya Galileo había comentado que el libro de la naturaleza estaba escrito con el lenguaje de las matemáticas presuponiendo la existencia de una realidad externa y tratando de explicar la aplicabilidad de las matemáticas a las ciencias naturales como la astronomía y la física. Sin embargo al tratar con las ciencias sociales esta aplicabilidad se torna más compleja dado que el objeto de estudio es la sociedad cuyos elementos son los seres humanos que por lo general diferimos ampliamente de los agregados de partículas que constituyen el objeto de estudio de las ciencias exactas.

Esto no obsta para realizar intentos de matematización que resultan errados y algunas veces meras supercherías.

Un ejemplo es de la economía de llamada pura que dio lugar a la elevación del mercado como regulador privilegiado de la sociedad con la consecuencia de miles de millones de hambrientos y con decenas de millones de ahorristas de clase media cuyos ahorros han sido pulverizados en la crisis en curso y cuyas consecuencias graves para la economía que ahora se reconoce como real no pueden todavía medirse.

En el plano teórico implicó no sólo a economistas sino también a un coro vocinglero de intelectuales, y es en esta economía donde se ha llegado hasta a proponer una teoría axiomática con los siguientes puntos de partida (axiomas):

     a) existe una racionalidad de los comportamientos de los competidores en el mercado,
     b) el equilibrio de mercado es el único procedimiento de coordinación,
    c) existe una racionalidad de las expectativas de los competidores en el mercado,
     d) el carácter estacionario de las relaciones puestas en evidencia

Se debe señalar que ya Aristóteles subrayó el carácter realista que debían tener los axiomas, cosa que en los casos a) y c) no se cumple, los concurrentes al mercado producen gran cantidad de personas que viven con menos de 2 dólares por día disminuyendo así los tamaños de sus mercados, lo cual no parece muy racional. Los b) y d) significan en buen romance que el sistema económico no se puede cambiar: lo que está en estado estacionario es porque llegó a un régimen permanente. Esta permanencia da un carácter “natural” al mismo, propio de los fundamentalismos religiosos, lo cual explica los notables fracasos del sistema neoliberal en todo el mundo (Alfonso, La economía como ciencia y sus axiomas. Realidad económica 180. 2001).

Aun suponiendo que éstos fueran realistas, la axiomática no está libre de problemas dado que hay proposiciones de las matemáticas que no se ha podido demostrar ni que sean ciertas, ni que sean falsas. Estas proposiciones se llaman indecidibles como por ejemplo, la conjetura de Goldbach, matemático austríaco, que data de 1742: todo número par es la suma de dos números primos. Si bien no hay ningún caso en que esto no se cumpla, tampoco se ha podido demostrar para todos los números pares. No se puede decidir por sí o por no.

En realidad está demostrado que los indecidibles son inherentes a los sistemas axiomáticos como los usados en matemáticas [Gödel (1931)]. Estos sistemas son incompletos es decir que no pueden demostrarse todas las proposiciones en ellos contenidas. Se ha intentado solucionar este problema con el agregado de nuevos axiomas, pero un segundo teorema de Gödel nos dice que en este caso el sistema resultante se tornaría no consistente es decir que no se puede demostrar que no tenga contradicciones. (Gödel: Obras completas. Alianza Universidad. 1981).

Esto quiere decir que aunque los axiomas de la economía neoliberal se cumplieran a rajatabla en todo el mundo, cosa que no es cierta, las dificultades inherentes a la axiomática eliminan la posibilidad teórica de un discurso económico (o pensamiento) único, debido a los problemas que resulten indecidibles. Como la economía, mal que les pese a los teóricos, tiene que ver con problemas reales de la sociedad, cada vez que uno de estos sea indecidible para los axiomas vigentes, se decidirá políticamente, de una u otra forma, independientemente de los axiomas.

Si se toma en cuenta la cantidad de economistas “puros”, consultores, periodistas económicos, gurúes diversos consultados por los medios, etc., para convencernos de las bondades del mercado, se tiene una idea de este enorme esfuerzo que se ha ido al traste con el actual tsunami económico mundial.